ВЫ не оказали, в какой организации работаете прежде всего. В любом случае при наличии в трудовом договоре количества часов вашей работы обязанность обеспечения данной работой находится в компетенции работодателя. В случае, если нагрузки нет, нужно оформлять дополнительное соглашение. Но в любом случае, вы не обязаны искать себе работу.

Непосредственно законодательством это не регулируется. Все зависит от условий (и формулировок этих условий) подписанного Вами договора, в настоящем случае трудового. А также подписанных с работодателем документов.

Нет, естественно, это обязанность работодателя обеспечить Вас работой. Вы можете оспорить в суд это замечание, в 3-месячный срок, что и рекомендую Вам сделать.

Дело в том, что

Ст. 81 ТК РФ

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:

5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;

При таких обстоятельствах наличие или отсутствие у Вас ранее наложенного взыскания может сыграть решающую роль.

За грамотным ведением дела в суде обратитесь к юристу.